教案的编写可以帮助教师提高教学质量和效率,从而提高学生的成绩和自信心。八年级下册数学教案大全怎么写,这里给大家分享八年级下册数学教案大全,供大家参考。
一、学习目标及重、难点:
1、了解方差的定义和计算公式。
2、理解方差概念的产生和形成的过程。
3、会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
重点:方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。
难点:理解方差公式
二、自主学习:
(一)知识我先懂:
方差:设有n个数据,各数据与它们的平均数的差的平方分别是
我们用它们的平均数,表示这组数据的方差:即用
来表示。
给力小贴士:方差越小说明这组数据越。波动性越。
(二)自主检测小练习:
1、已知一组数据为2、0、-1、3、-4,则这组数据的方差为。
2、甲、乙两组数据如下:
甲组:1091181213107;
乙组:7891011121112.
分别计算出这两组数据的极差和方差,并说明哪一组数据波动较小.
三、新课讲解:
引例:问题:从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗,分别测得它的苗高如下:(单位:cm)
甲:9、10、10、13、7、13、10、8、11、8;
乙:8、13、12、11、10、12、7、7、10、10;
问:(1)哪种农作物的苗长的比较高(我们可以计算它们的平均数:=)
(2)哪种农作物的苗长得比较整齐?(我们可以计算它们的极差,你发现了)
归纳:方差:设有n个数据,各数据与它们的平均数的差的平方分别是
我们用它们的平均数,表示这组数据的方差:即用来表示。
(一)例题讲解:
例1、段巍和金志强两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么?、
测试次数 第1次第2次第3次第4次第5次
段巍1314131213
金志强1013161412
给力提示:先求平均数,在利用公式求解方差。
(二)小试身手
1、.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次,命中的环数如下:
甲:7、8、6、8、6、5、9、10、7、4乙:9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
经过计算,两人射击环数的平均数是,但S=,S=,则SS,所以确定
去参加比赛。
1、求下列数据的众数:
(1)3,2,5,3,1,2,3(2)5,2,1,5,3,5,2,2
2、8年级一班46个同学中,13岁的有5人,14岁的有20人,15岁的15人,16岁的6人。8年级一班学生年龄的平均数,中位数,众数分别是多少?
四、课堂小结
方差公式:
给力提示:方差越小说明这组数据越。波动性越。
每课一首诗:求方差,有公式;先平均,再求差;
求平方,再平均;所得数,是方差。
五、课堂检测:
1、小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示:(单位:秒)
小爽10.810.911.010.711.111.110.811.010.710.9
小兵10.910.910.810.811.010.910.811.110.910.8
如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛,你会选谁呢?
六、课后作业:必做题:教材141页练习1、2选做题:练习册对应部分习题
七、学习小札记:
写下你的收获,交流你的经验,分享你的成果,你会感到无比的快乐!
从分数到分式
一、 教学目标
1. 了解分式、有理式的概念.
2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
二、重点、难点
1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
三、课堂引入
1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:_____
2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
请同学们跟着教师一起设未知数,列方程.
设江水的流速为x千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用时间小时,所以=.
3. 以上的式子_____有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点?
五、例题讲解
P5例1. 当x为何值时,分式有意义.
[分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解
出字母x的取值范围.
[提问]如果题目为:当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2. 当m为何值时,分式的值为0?
(1) (2) (3)
[分析] 分式的值为0时,必须同时满足两个条件:1分母不能为零;2分子为零,这样求出的m的解集中的公共部分,就是这类题目的解.
[答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1
六、随堂练习
1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式?
9x+4, , , , ,
2. 当x取何值时,下列分式有意义?
(1) (2) (3)
3. 当x为何值时,分式的值为0?
(1) (2) (3)
七、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式?
(1)甲每小时做x个零件,则他8小时做零件 个,做80个零件需 小时.
(2)轮船在静水中每小时走a千米,水流的速度是b千米/时,轮船的顺流速度是 千米/时,轮船的逆流速度是 千米/时.
(3)x与y的差于4的商是 .
2.当x取何值时,分式 无意义?
3. 当x为何值时,分式 的值为0?
八、答案:
六、1.整式:9x+4, , 分式: , ,
2.(1)x≠-2 (2)x≠ (3)x≠±2
3.(1)x=-7 (2)x=0 (3)x=-1
七、1.18x, ,a+b,,; 整式:8x,a+b, ;
分式:,
2. X = 3. x=-1
课后反思:
一、教学目标
1、了解公式的意义,使学生能用公式解决简单的实际问题;
2、初步培养学生观察、分析及概括的能力;
3、通过本节课的教学,使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。
二、重难点
(一)教学重点、难点
重点:通过具体例子了解公式、应用公式。
难点:从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式,要注意从中反应出来的归纳的思想方法。
(二)重点、难点分析
人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系,往往写成公式,以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时,首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义,以及这些字母之间的数量关系,然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时,就是求代数式的值了。有的公式,可以借助运算推导出来;有的公式,则可以通过实验,从得到的反映数量关系的一些数据(如数据表)出发,用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题,会给我们认识和改造世界带来很多方便。
三、知识结构
本节一开始首先概述了一些常见的公式,接着三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的.辨证思想。
四、教法建议
1、对于给定的可以直接应用的公式,首先在给出具体例子的前提下,教师创设情境,引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义,以及这些数量之间的对应关系,在具体例子的基础上,使学生参与挖倔其中蕴涵的思想,明确公式的应用具有普遍性,达到对公式的灵活应用。
2、在教学过程中,应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套,这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系,在已有公式的基础上,通过分析和具体运算推导新公式。
3、在解决实际问题时,学生应观察哪些量是不变的,哪些量是变化的,明确数量之间的对应变化规律,依据规律列出公式,再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程,有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
五、教学目标
(一)知识教学点
1、使学生能利用公式解决简单的实际问题。
2、使学生理解公式与代数式的关系。
(二)能力训练点
1、利用数学公式解决实际问题的能力。
2、利用已知的公式推导新公式的能力。
(三)德育渗透点
数学来源于生产实践,又反过来服务于生产实践。
(四)美育渗透点
数学公式是用简洁的数学形式来阐明自然规定,解决实际问题,形成了色彩斑斓的多种数学方法,从而使学生感受到数学公式的简洁美。
六、教学步骤
(一)创设情景,复习引入
师:同学们已经知道,代数的一个重要特点就是用字母表示数,用字母表示数有很多应用,公式就是其中之一,我们在小学里学过许多公式,请大家回忆一下,我们已经学过哪些公式,教法说明,让学生一开始就参与课堂教学,使学生在后面利用公式计算感到不生疏。
在学生说出几个公式后,师提出本节课我们应在小学学习的基础上,研究如何运用公式解决实际问题。
板书:公式
师:小学里学过哪些面积公式?
板书:S=ah
(出示投影1)。解释三角形,梯形面积公式。
学习目标:
(1)了解运用公式法分解因式的意义;
(2)会用完全平方公式进行因式分解;
(3)清楚优先提取公因式,然后考虑用公式
中考考点:正向、逆向运用公式,特别是配方法是必考点。
预习作业:
1. 完全平方公式字母表示: .
2、形如或的式子称为
3. 结构特征:项数、次数、系数、符号
填空:
(1)(a+b)(a-b) = ;
(2)(a+b)2= ;
(3)(a–b)2= ;
根据上面式子填空:
(1)a2–b2= ;
(2)a2–2ab+b2= ;
(3)a2+2ab+b2= ;
结 论:形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式.
a2–2ab+b2=(a–b)2 a2+2ab+b2=(a+b)2
完全平方公式特点:首平方,尾平方,积的2倍在中央,符号看前方。
例1: 把下列各式因式分解:
(1)x2–4x+4 (2)9a2+6ab+b2
(3)m2– (4)
例2、将下列各式因式分解:
(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)–x2–4y2+4xy
注:优先提取公因式,然后考虑用公式
例3: 分解因式
(1) (2)
(3) (4)
点拨:把 分解因式时:
1、如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数P的符号相同
2、如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数P的符号相同
3、对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项的系数P
变式练习:
(1) (2)
(3)
借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,
叫做十字相乘法
口诀:首尾拆,交叉乘,凑中间。
拓展训练:
若把代数式化为的形式,其中m,k为常数,求m+k的值
已知,求x,y的值
当x为何值时,多项式取得最小值,其最小值为多少?
回顾与思考
学习目标:
(1)提高因式分解的基本运算技能
(2)能熟练进行因式分解方法的综合运用.
学习准备:
1、把一个多项式化成 的形式,叫做把这个多项式分解因式。
要弄清楚分解因式的概念,应把握如下特点:
(1)结果一定是 的形式;
(2)每个因式都是 ;
(3)各因式一定要分解到 为止。
2、分解因式与 是互逆关系。
3、分解因式常用的方法有:
(1)提公因式法:
(2)应用公式法:①平方差公式: ②完全平方公式:
(3)分组分解法:am+an+bm+bn=
(4)十字相乘法:=
4、分解因式步骤:
(1)首先考虑提取 ,然后再考虑套公式;
(2)对于二次三项式联想到平方差公式因式分解;
(3)对于二次三项式联想到完全平方公式,若不行再考虑十字相乘法分解因式;
(4)超过三项的多项式考虑分组分解;
(5)分解完毕不要大意,检查是否分解彻底。
辨析题:
1、下列哪些式子的变形是因式分解?
(1)x2–4y2=(x+2y)(x–2y)
(3)4m2–6mn+9n2 =2m(2m–3n)+9n2
(4)m2+6mn+9n2=(m+3n)2
2、把下列各式分解因式:
(1)7x2–63 (2)(x+y)2–14(x+y)+49
(3) (4)(a2+4)2–16a2
(5) (6)
(7) (8)
想一想
计算:
1、32004–32003 2、(–2)101+(–2)100
3、已知 ,求的值.
例1: 把下列各式因式分解(分组后能提公因式)
(1)a2-ab+ac-bc (2)2ax-10ay+5by-bx
(3) 3ax +4by+4ay+3bx (4) m2+5n-mn-5m
点拨:
1、用分组分解法时,一定要想想分组后能否继续进行,完成因式分解,由此合理选择分组的方法
2、运算律(如加法交换律、分配律)在因式分解中起着重要的作用
教学目标:
1、知识目标:探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。
2、能力目标:
①经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程,掌握画图技能。
②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,并在此基础上达到巩固旋转的有关性质。
3、情感体验点:培养学生的观察能力和审美能力,激发学生学习数学的兴趣。
重点与难点:
重点:图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合);
难点:综合利用各种变换关系观察图形的形成。
疑点:基本图案不同,形成方式不同。
教学方法:
新授课在教师引导下,以学生的分组讨论、合作交流为主展开教学。
教学过程设计:
1、情境导入
播放自制图形形成的影片,如图351。
2、充分利用本课时引入开放性的问题:图351由四部分组成,每部分都包括两个小十字,其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其它方式吗?
问题本身为学生创设了一个探究图形之间变化关系的情景,图形虽十简单,但变换方式综合性强,可以让学生自由发挥,各抒已见,后由教师进行适当归纳小结:
(1)整个图形可以看做是由一个十字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成;
(2)整个图形也可以看做是由左边的两个十字组成的部分通过三次放置形成的;
(3)整个图形不定期可以看做把左边的两个十字组成的部分先通过平移一次形成左右四个十字组成的图形,然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成;
(4)整个图形还可以看做把左边的两个十字组成的部分通过二次轴对称形成的。
(学生可能还有其他不同描述,教师应予以肯定)
3、通过上述问题的讨论,我们看到图形的平移、旋转,轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式,它们是今后设计图案的主要手段。
4、利用想一想你能将图352的左图,通过平移或旋转得到右图吗?
学生议论或动手操作会发现这是不可能的,教材意图十分明确,要告诉学生并不是所有图形都可以通过一次平移或旋转而得到的,从而要求我们今后分析图形之间的关系时,要充分利用它们各自的性质、特征正确判断和识别。那么上述图形能通过轴对称变换从左图变成右图吗?进一步让学生思考,从而得到结论是可能的。
5、例1、怎样将图353中的甲图变成乙图案?
通过相对简单活泼的问题,让学生能运用图形变换的几种不同方式解答问题(先旋转再平移后等到或先平移后旋转也可以)
例2、怎样将图354中右边的图案变成左边的图案?
留给学生充足的时间讨论交流。
(师):哪位同学有好好方法,请告诉大家!
(生):以右图案的中心为旋转中心,将图案按逆时针方向旋转900。
(生):以右图案的中心为旋转中心,将图案顺逆时针方向旋转2700。
明确可以通过不同的办法达到同样的效果,激励学生动手动脑。
5、学习小结
(1)内容总结
两个图案前后变化彩用了哪些方法?(平移、旋转,轴对称)
(2)方法归纳
①了解并知道图案变化的一般方法。
②图案变化的方法很多,在生活中要养成多途径观察,思考问题的习惯。
6、目标检测
图355是由三个正三角形拼成的,它可以看做由其中一个三角形经过怎样的变换而得到?
延伸拓展:
1、链接生活
链接一:奥运会的五环旗图案是大家熟悉的图案,请你根据所学知识分析它的形成。(用课本知识解释生活中的图形变换)
链接二:夏季是荷花盛开的季节,同学们都赞美过它出淤泥而不染的品质,很多同学曾画过荷花,请你用所学知识再画一朵荷花,看与以前有什么不同的感受(让学生进一步体会数学与生活的密切联系)
实践探索:
①实践活动列举实例归纳图形之间的变换关系(平移、旋转,轴对称及其组合)
②巩固练习课本74页中的习题3.6。
板书设计:
3.5它们是怎样变过来的。
轴对称、平移、旋转的性质例题;
图形之间的变换关系;
教学内容分析:
⑴学习特殊的平行四边形—正方形,它的特殊的性质和判定。
⑵前面学习了平行四边形、矩形菱形,类比他们的性质与判断,有利于对正方形的研究。
⑶对本节的学习,继续培养学生分类研究的思想,并且建立新旧知识的联系,类比的基础上进行归纳,梳理知识,进一步发展学生的推理能力。
学生分析:
⑴学生在小学初步认识了正方形,并且本节课之前,学生又学习了几种平行四边形,已经具备了观察研究平行四边形的经验与知识基础。
⑵学生在上几节已有了推理的经历,但是对于证明,学生的思维能力还不成熟,有待于提高。
教学目标:
⑴知识与技能:了解正方形是特殊的平行四边形,掌握它的性质和判定,会利用性质与判定进行简单的说理。
⑵过程与方法:通过类比前边的四边形的研究,探索并归纳正方形的性质与判定。通过运用提高学生的推理能力。
⑶情感态度与价值观:在学习中体会正方形的完美性,通过活动获得成功的喜悦与自信。
重点:
掌握正方形的性质与判定,并进行简单的推理。
难点:
探索正方形的判定,发展学生的推理能
教学方法:
类比与探究
教具准备:
可以活动的四边形模型。
教学过程:
一:复习巩固,建立联系。
【教师活动】
问题设置:①平行四边形、矩形,菱形各有哪些性质?
②()的四边形是平行四边形。()的平行四边形是矩形。()的平行四边形是菱形。()的四边形是矩形。()的四边形是菱形。
【学生活动】
学生回忆,并举手回答,对于填空题,让更多的学生参与,说出更多的答案。
【教师活动】
评析学生的结果,给予表扬。
总结性质从边角对角线考虑,在填空时也考虑这几方面之外,还应该考虑三者之间的联系与区别。
演示平行四边形变为矩形菱形的过程。
二:动手操作,探索发现。
活动一:拿出一张矩形纸片,拉起一角,使其宽AB落在长AD边上,如下图所示,沿着B′E剪下,能得到什么图形?
【学生活动】
学生拿出自备矩形纸片,动手操作,不难发现它是正方形。
设置问题:①什么是正方形?
观察发现,从活动中体会。
【教师活动】:演示矩形变为正方形的过程,菱形变为正方形的过程。
【学生活动】认真观察变化过程,思考之间的联系,举手回答设置问题。
设置问题②正方形是矩形吗,是菱形吗?是平行四边形吗?为什么?
【学生活动】
小组讨论,分组回答。
【教师活动】
总结板书:
㈠(一组邻边相等)的矩形是正方形,(一个角是直角)的菱形是正方形。
设置问题③正方形有那些性质?
【学生活动】
小组讨论,举手抢答。
【教师活动】
表扬学生发言,板书学生发现,㈡正方形每一条对角线平分一组对角
活动二:拿出活动一得到的正方形折一折,正方形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
学生活动
折纸发现,说出自己的发现。得到正方形的又一性质。正方形是轴对称图形。
教师活动
演示从平行四边形变为正方形的过程,擦去板书㈠中的括号内容,出示一下问题:你还可以怎样填空?
()的菱形是正方形,()的矩形是正方形,()的平行四边形是正方形,()的四边形是正方形。
学生活动
小组充分交流,表达不同的意见。
教师活动
评析活动,总结发现:
一组邻边相等的矩形是正方形,对角线互相平分的矩形是正方形;
有一个角是直角的菱形是正方形,对角线相等的菱形是正方形,;
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,对角线相等且互相平分的平行四边形是正方形;
四边相等且有一角是直角的四边形是正方形,对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
以上是正方形的`判定方法。
正方形是一个多么完美的平行四边形呀?大家互相说一说,它的完美体现在哪里?生活中有哪些利用正方形的例子?
学生交流,感受正方形
三,应用体验,推理证明。
出示例一:正方形ABCD的两条对角线AC,BD交与O,AB长4cm,求AC,AO长,及的度数。
方法一解:∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°(正方形的四个角是直角)。
BC=AB=4cm(正方形的四条边相等)
∴=45°(等腰直角三角形的底角是45°)
∴利用勾股定理可知,AC===4cm
∵AO=AC(正方形的对角线互相平分)
∴AO=×4=2cm
方法二:证明△AOB是等腰直角三角形,即可得证。
学生活动
独立思考,写出推理过程,再进行小组讨论,并且各小组指派代表写在黑板上,共同交流。
教师活动
总结解题方法,从正方形的性质全面考虑,准确利用条件,减少麻烦。评析解题步骤,表扬突出学生。
出示例二:在正方形ABCD中,E、F、G、H分别在它的四条边上,且AE=BF=CG=DH,四边形EFGH是什么特殊的四边形,你是如何判断的?
学生活动
小组交流,分析题意,整理思路,指名口答。
教师活动
说明思路,从已知出发或者从已有的判定加以选择。
四,归纳新知,梳理知识。
这一节课你有什么收获?
学生举手谈论自己的收获。
请把平行四边形,矩形,菱形,正方形分别填写在下图的ABCDC处,说明它们的关系。
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1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值。
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点。
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
教材分析
1、本节课首先从最简单的正比例函数入手.从正比例函数的定义、函数关系式、引入次函数的概念。
2、八年级数学中的一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数,是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一,也是学生今后进一步学习初、高中其它函数和高中解析几何中的直线方程的基础。
学情分析
1、虽然这是一节全新的数学概念课,学生没有接触过。但是,孩子们已经具备了函数的一些知识,如正比例函数的概念及性质,这些都为学习本节内容做好了铺垫。
2、八年级数学中的一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数,是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一,也是学生今后进一步学习其它函数的基础。
3、学生认知障碍点:根据问题信息写出一次函数的表达式。
教学目标
1、理解一次函数与正比例函数的概念以及它们的关系,在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊和一般的辩证关系。
2、能根据问题信息写出一次函数的表达式。能利用一次函数解决简单的实际问题。
3、经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力。
教学重点和难点
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学目标:
知识目标:
1、初步掌握函数概念,能判断两个变量间的关系是否可看作函数。
2、根据两个变量间的关系式,给定其中一个量,相应地会求出另一个量的值。
3、会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题。
能力目标:
1、通过函数概念,初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2、经历具体实例的抽象概括过程,进一步发展学生的抽象思维能力。
情感目标:
1、经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想。
2、让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。
教学重点:
掌握函数概念。
判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
能把实际问题抽象概括为函数问题。
教学难点:
理解函数的概念。
能把实际问题抽象概括为函数问题。
教学过程设计:
一、创设问题情境,导入新课
『师』:同学们,你们看下图上面那个像车轮状的物体是什么?
『生』:摩天轮。
『师』:你们坐过吗?
……
『师』:当你坐在摩天轮上时,人的高度随时在变化,那么变化是否有规律呢?
『生』:应该有规律。因为人随轮一直做圆周运动。所以人的高度过一段时间就会重复依次,即转动一圈高度就重复一次。
『师』:分析有道理。摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系。请看下图,反映了旋转时间t(分)与摩天轮上一点的高度h(米)之间的关系。
大家从图上可以看出,每过6分钟摩天轮就转一圈。高度h完整地变化一次。而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度h。下面根据图5-1进行填表:
t/分012345……h/米
t/分012345……h/米31137453711……
『师』:对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?
『生』:确定。
『师』:在这个问题中,我们研究的对象有几个?分别是什么?
『生』:研究的对象有两个,是时间t和高度h。
『师』:生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?如:弹簧的长度与所挂物体的质量,路程的距离与所用时间……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界。下面我们就去研究一些有关变量的问题。
二、新课学习
做一做
(1)瓶子或罐子盒等圆柱形的物体,常常如下图那样堆放,随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?
填写下表:
层数n12345…物体总数y1361015…『师』:在这个问题中的变量有几个?分别师什么?
『生』:变量有两个,是层数与圆圈总数。
(2)在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米,一般地有经验公式,其中V表示刹车前汽车的速度(单位:千米/时)
①计算当fenbie为50,60,100时,相应的滑行距离S是多少?
②给定一个V值,你能求出相应的S值吗?
解:略
议一议
『师』:在上面我们研究了三个问题。下面大家探讨一下,在这三个问题中的共同点是什么?不同点又是什么?
『生』:相同点是:这三个问题中都研究了两个变量。
不同点是:在第一个问题中,是以图象的形式表示两个变量之间的关系;第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系;第三个问题是以关系式来表示两个变量间的关系的。
『师』:通过对这三个问题的研究,明确“给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值”这一共性。
函数的概念
在上面各例中,都有两个变量,给定其中某一各变量(自变量)的值,相应地就确定另一个变量(因变量)的值。
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
三、随堂练习
书P152页随堂练习1、2、3
四、本课小结
初步掌握函数的概念,能判断两个变量间的关系是否可看作函数。
在一个函数关系式中,能识别自变量与因变量,给定自变量的值,相应地会求出函数的值。
函数的三种表达式:
图象;(2)表格;(3)关系式。
五、探究活动
为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过10吨时,水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x吨(x>10),应交水费y元,请用方程的知识来求有关x和y的关系式,并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数?
(答案:Y=1.8x-6或)
六、课后作业
习题6.1
等腰三角形
一、教学目标如:
1.知识目标:理解作为证明基础的几条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性质定理;熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2.能力目标:经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;
3.情感与价值目标:启发引导学生体会探索结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系;
二.教学重、难点
重点:探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法;
难点:明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等。
三、教学过程分析
第一环节:回顾旧知 导出公理
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下三条:
.两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
三边对应相等的两个三角形全等(SSS);
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件:1.(推论)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明;
.回忆全等三角形的性质。
已知:如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证:△ABC≌△DEF.
证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),
又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠C=180°-(∠A+∠B),
∠F=180°-(∠D+∠E),
∴∠C=∠F(等量代换)。
又BC=EF(已知),∴△ABC≌△DEF(ASA)。
第二环节:折纸活动探索新知
提问:“等腰三角形有哪些性质?如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?”
第三环节:明晰结论和证明过程
让学生明晰证明过程。
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
教学目标:
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
教学重点:
算术平方根的概念。
教学难点:
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
教学过程
一、情境导入
请同学们欣赏本节导图,并回答问题,学校要举行金秋美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?如果这块画布的面积是?这个问题实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题?
这就要用到平方根的概念,也就是本章的主要学习内容.这节课我们先学习有关算术平方根的概念.
二、导入新课:
1、提出问题:(书P68页的问题)
你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢?(学生思考并交流解法)
这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作根号a,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.
也就是,在等式=a(x0)中,规定x=.
2、试一试:你能根据等式:=144说出144的算术平方根是多少吗?并用等式表示出来.
3、想一想:下列式子表示什么意思?你能求出它们的值吗?
建议:求值时,要按照算术平方根的意义,写出应该满足的关系式,然后按照算术平方根的记法写出对应的值.例如表示25的算术平方根。
4、例1求下列各数的算术平方根:
(1)100;(2)1;(3);(4)0.0001
三、练习
P69练习1、2
四、探究:(课本第69页)
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?
方法1:课本中的方法,略;
方法2:
可还有其他方法,鼓励学生探究。
问题:这个大正方形的边长应该是多少呢?
大正方形的边长是,表示2的算术平方根,它到底是个多大的数?你能求出它的值吗?
建议学生观察图形感受的大小.小正方形的对角线的长是多少呢?(用刻度尺测量它与大正方形的边长的大小)它的近似值我们将在下节课探究.
五、小结:
1、这节课学习了什么呢?
2、算术平方根的具体意义是怎么样的?
3、怎样求一个正数的算术平方根
六、课外作业:
P75习题13.1活动第1、2、3题
一、教学目标
1.了解公式的意义,使学生能用公式解决简单的实际问题;
2.初步培养学生观察、分析及概括的能力;
3.通过本节课的教学,使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。
二、教学建议
(一)教学重点、难点
重点:通过具体例子了解公式、应用公式。
难点:从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式,要注意从中反应出来的归纳的思想方法。
(二)重点、难点分析
人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系,往往写成公式,以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时,首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义,以及这些字母之间的数量关系,然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时,就是求代数式的值了。有的公式,可以借助运算推导出来;有的公式,则可以通过实验,从得到的反映数量关系的一些数据(如数据表)出发,用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题,会给我们认识和改造世界带来很多方便。
(三)知识结构
本节一开始首先概述了一些常见的公式,接着三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。
三、教法建议
1.对于给定的可以直接应用的公式,首先在给出具体例子的前提下,教师创设情境,引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义,以及这些数量之间的对应关系,在具体例子的基础上,使学生参与挖倔其中蕴涵的思想,明确公式的应用具有普遍性,达到对公式的灵活应用。
2.在教学过程中,应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套,这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系,在已有公式的基础上,通过分析和具体运算推导新公式。
3.在解决实际问题时,学生应观察哪些量是不变的,哪些量是变化的,明确数量之间的对应变化规律,依据规律列出公式,再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程,有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
1、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。例1、1、在同一平面内两条直线的位置关系为(相交)和(平行)。2、两条直线相交成直角时,就说这两条直线互相垂直,其…
平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形图形两组对边分别平行的四边形。定义用“”表示平行四边形,例如:ABCD,平行四边形ABCD记作有一个角是直角的平有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等且…
第十八章平行四边形的认识知识点回顾:平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系1.矩形是特殊的平行四边形,矩形的四个内角都是_____。矩形的对角线___2.菱形是特殊的平行四边形,菱形是四条边都__,它的两条对角线__每条对角线平…
特殊的平行四边形和一元二次方程的知识点归纳
【菱形】
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质:
(1)菱形的性质有:①平行四边形的一切性质;②四条边都相等;③对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是对称轴图形,它有2条对称轴,分别为它的两条对角线所在的直线。
(2)菱形面积=底×高=对角线乘积的一半。
3.菱形的判定:
(1)用定义判定(即一组邻边相等的平行四边形是菱形)。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)四条边都相等的四边形是菱形。
综上可知,判定菱形时常用的思路:
四条边都相等菱形
菱形四边形
平行
四边形有一组邻边相等菱形
【矩形】
1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质:(1)具有平行四边形的一切性质;(2)矩形的四个角都是直角;
(3)矩形的四个角都相等。
4.矩形的判定方法:
(1)用定义判定(即有一个角是直角的平行四边形是矩形);
(2)三个角都是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形。
综上可知,判定矩形时常用的思路:
【正方形】
1.正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(1)边:四条边相等,邻边垂直且相等,对边平行且相等。
1(2)角:四个角都是直角。
(3)对角线:对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
3.正方形的判定
(1)根据定义判定;(2)对角线相等的菱形是正方形;
(2)有一个角是直角的菱形是正方形;
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。
4.特殊的平行四边形之间的关系
矩形、菱形是特殊的平行四边形,正方形是更特殊的平行四边形,它既是矩形,又是菱形,它们之间的关系如图所示:
5.依次连接四边形各边中点所得到的四边形的形状:
(1)依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行变形;
(2)依次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形;
(3)依次连接对角线垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形;
(4)依次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点所得到的四边形是正方形;
一、教学目标
(一)知识与技能:
(1)使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念。
(2)认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系,并能运用这种关系寻求因式分解的方法。
(二)过程与方法:
(1)由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、类比等手段,寻求因式分解与因数分解之间的关系,培养学生的观察能力,进一步发展学生的类比思想。
(2)由整式乘法的逆运算过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力。
(3)通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较,培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
(三)情感态度与价值观:让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
二、教学重点和难点
重点:因式分解的概念及提公因式法。
难点:正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
三、教学过程
教学环节:
活动1:复习引入
看谁算得快:用简便方法计算:
(1)7/9×13-7/9×6+7/9×2=;
(2)-2、67×132+25×2、67+7×2、67=;
(3)992–1=。
设计意图:
如果说学生对因式分解还相当陌生的话,相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉。引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上,从而为因式分解的掌握扫清障碍,本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度,为下一环节的理解搭一个台阶。
注意事项:学生对于(1)(2)两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉,对于第(3)小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难,因此,有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式,帮助他们顺利地逆向运用平方差公式。
活动2:导入课题
P165的探究(略);
2、看谁想得快:993–99能被哪些数整除?你是怎么得出来的?
设计意图:
引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式,继续强化学生对因数分解的理解,为学生类比因式分解提供必要的精神准备。
活动3:探究新知
看谁算得准:
计算下列式子:
(1)3x(x-1)=;
(2)(a+b+c)=;
(3)(+4)(-4)=;
(4)(-3)2=;
(5)a(a+1)(a-1)=;
根据上面的算式填空:
(1)a+b+c=;
(2)3x2-3x=;
(3)2-16=;
(4)a3-a=;
(5)2-6+9=。
在第一组的整式乘法的计算上,学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果,然后通过对这两组式子的结果的比较,使学生对因式分解有一个初步的意识,由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维能力。
活动4:归纳、得出新知
比较以下两种运算的联系与区别:
a(a+1)(a-1)=a3-a
a3-a=a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗?除此之外,你还能找到类似的例子吗?
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理。定理反映了线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的依据;逆定理反映了线段垂直平分线的判定,是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据。
本节内容的难点是定理及逆定理的关系。垂直平分线定理和其逆定理,题设与结论正好相反。学生在应用它们的时候,容易混淆,帮助学生认识定理及其逆定理的区别,这是本节的难点。
2、教法建议
本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式。提出问题让学生想,设计问题让学生做,错误原因让学生说,方法与规律让学生归纳。教师的作用在于组织、点拨、引导,促进学生主动探索,积极思考,大胆想象,总结规律,充分发挥学生的主体作用,让学生真正成为教学活动的主人。具体说明如下:
(1)参与探索发现,领略知识形成过程
学生前面,学习过线段垂直平分线的概念,这样由复习概念入手,顺其自然提出问题:在垂直平分线上任取一点P,它到线段两端的距离有何关系?学生会很容易得出“相等”。然后学生完成证明,找一名学生的证明过程,进行投影总结。最后,由学生将上述问题,用文字的形式进行归纳,即得线段垂直平分线定理。这样让学生亲自动手实践,积极参与发现,激发了学生的认识冲突,使学生克服思维和探求的惰性,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会。
(2)采用“类比”的学习方法,获取逆定理
线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单,学生学习一般没有什么困难,这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系,为了很好的突破这一难点,教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照,类比的方法进行教学,使学生进一步认识这两个定理的区别和联系。
(3)通过问题的解决,让学生学会从不同角度分析问题、解决问题;让学生学会引申、变更问题,以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力。